Question

8．若无穷数列{a_n}满足：只要a_p=a_q（p，q∈N^*），必有a_p+1=a_q+1，则称{a_n}具有性质P．
（1）若{a_n}具有性质P，且a₁=1，a₂=2，a₄=3，a₅=2，a₆+a₇+a₈=21，求a₃；
（2）若无穷数列{b_n}是等差数列，无穷数列{c_n}是公比为正数的等比数列，b₁=c₅=1；b₅=c₁=81，a_n=b_n+c_n，判断{a_n}是否具有性质P，并说明理由；
（3）设{b_n}是无穷数列，已知a_n+1=b_n+sina_n（n∈N^*），求证：“对任意a₁，{a_n}都具有性质P”的充要条件为“{b_n}是常数列”．

Answer 1

分析 （1）利用已知条件通过a₂=a₅=2，推出a₃=a₆，a₄=a₇，转化求解a₃即可．
（2）设无穷数列{b_n}的公差为：d，无穷数列{c_n}的公比为q，则q＞0，利用条件求出，d与q，求出b_n，c_n得到a_n的表达式，推出a₂≠a₆，说明{a_n}不具有性质P．
（3）充分性：若{b_n}是常数列，设b_n=C，通过a_n+1=C+sina_n，证明a_p+1=a_q+1，得到{a_n}具有性质P．
必要性：若对于任意a₁，{a_n}具有性质P，得到a₂=b₁+sina₁，设函数f（x）=x-b₁，g（x）=sinx，说明b_n+1=b_n，即可说明{b_n}是常数列．

解答 解：（1）∵a₂=a₅=2，∴a₃=a₆，
a₄=a₇=3，∴a₅=a₈=2，a₆=21-a₇-a₈=16，∴a₃=16．
（2）设无穷数列{b_n}的公差为：d，无穷数列{c_n}的公比为q，则q＞0，
b₅-b₁=4d=80，
∴d=20，∴b_n=20n-19，$\frac{{c}_{5}}{{c}_{1}}$=q⁴=$\frac{1}{81}$，∴q=$\frac{1}{3}$，∴c_n=$（\frac{1}{3}）^{n-5}$
∴a_n=b_n+c_n=20n-19+$（\frac{1}{3}）^{n-5}$．
∵a₁=a₅=82，
而a₂=21+27=48，a₆=101$+\frac{1}{3}$=$\frac{304}{3}$．a₁=a₅，但是a₂≠a₆，{a_n}不具有性质P．
（3）充分性：若{b_n}是常数列，
设b_n=C，则a_n+1=C+sina_n，
若存在p，q使得a_p=a_q，则a_p+1=C+sina_p=C+sina_q=a_q+1，
故{a_n}具有性质P．
必要性：若对于任意a₁，{a_n}具有性质P，
则a₂=b₁+sina₁，
设函数f（x）=x-b₁，g（x）=sinx，
由f（x），g（x）图象可得，对于任意的b₁，二者图象必有一个交点，
∴一定能找到一个a₁，使得a₁-b₁=sina₁，
∴a₂=b₁+sina₁=a₁，∴a_n=a_n+1，
故b_n+1=a_n+2-sina_n+1=a_n+1-sina_n=b_n，
∴{b_n}是常数列．

点评 本题考查等差数列与等比数列的综合应用，充要条件的应用，考查分析问题解决问题的能力，逻辑思维能力，难度比较大．