Question

11．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为棱BB₁和DD₁的中点，M为棱DC的中点．
（1）求证：平面FB₁C₁∥平面ADE；
（2）求证：D₁M⊥平面ADE；
（3）求二面角A₁-DE-A的余弦值．

Answer 1

分析 （1）只需证得FDEB₁为平行四边形，即可得D₁E∥BF．平面FB₁C₁∥平面ADE
（2）建立如图所示坐标系，正方体棱长为2，则A（2，0，0），D（0，0，0），C（0，2，0），D₁（0，0，2），M（0，1，0），E（2，2，1），利用向量法求二面角的余弦值

解答 证明：（1）∵AD∥B₁C₁又B₁E∥DF且B₁E=DF
∴FDEB₁为平行四边形∴D₁E∥BF．
又B₁F∩B₁C₁=B₁，DE∩AD=D
∴平面FB₁C₁∥平面ADE
（2）建立如图所示坐标系，正方体棱长为2．
A（2，0，0）D（0，0，0）C（0，2，0）D₁（0，0，2）∴M（0，1，0）E（2，2，1）
既$\overrightarrow{{D}_{1}M}=（0，1，-2）$，$\overrightarrow{DE}=（2，2，1）$，$\overrightarrow{DA}=（2，0，0）$   
∵$\overrightarrow{{D}_{1}M}•\overrightarrow{DE}=0$，$\overrightarrow{{D}_{1}M}•\overrightarrow{DA}=0$，∴D₁M⊥DE，D₁M⊥DA
∴D₁M⊥平面ADE；
（3）∵$\overrightarrow{D{A}_{1}}=（2，0，2）$，$\overrightarrow{DE}=（2，2，0）$
设平面A₁DE的法向量$\overrightarrow{n}=（1，{y}_{0}，{x}_{0}）$
∵$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{A}_{1}}=2{y}_{0}+2{z}_{0}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=2+2{y}_{0}+{z}_{0}=0}\end{array}\right.$，可取$\overrightarrow{n}=（1，-\frac{1}{2}，-1）$
而平面ADE的法向量为$\overrightarrow{{D}_{1}M}=（0，1，-2）$
∴$cos＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{{D}_{1}M}＞$=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{D}_{1}M}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{{D}_{1}M}|}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$
即二面角的余弦值为$\frac{\sqrt{5}}{5}$

点评 本题考查了空间面面平行的判定，向量法求面面角，属于中档题．