Question

如图，⊙O在平面α内，AB是⊙O的直径，PA⊥平面α，C为圆周上不同于A、B的任意一点，M，N，Q分别是PA，PC，PB的中点．
（1）求证：MN∥平面α；
（2）求证：平面MNQ∥平面α；
（3）求证：BC⊥平面PAC．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定,平面与平面平行的判定

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：（1）由已知可证MN∥AC，又MN?α，AC?α，即可证明MN∥平面α．
（2）由（1）知MN∥平面α，同理可证NQ∥平面α．由MN?平面MNQ，NQ?平面MNQ，且MN∩NQ=N，即可证明平面MNQ∥平面α．
（3）由PA⊥平面α，BC?平面α，可证BC⊥PA，又由已知可证BC⊥AC，由PA∩AC=A，PA，AC?平面PAC，即可证明BC⊥平面PAC．

解答： （本小题满分13分）
证明：（1）∵M，N分别是PA，PC的中点，
∴MN∥AC．（1分）

又∵MN?α，AC?α，（2分）
∴MN∥平面α．（4分）
（2）由（1）知MN∥平面α，（5分）
同理可证NQ∥平面α．（6分）
∵MN?平面MNQ，NQ?平面MNQ，且MN∩NQ=N，（7分）
∴平面MNQ∥平面α．（8分）
（3）∵PA⊥平面α，BC?平面α，∴BC⊥PA．（10分）
又∵AB是⊙O的直径，C为圆周上不同于A、B的任意一点，
∴BC⊥AC．（11分）
∵PA∩AC=A，PA，AC?平面PAC，（12分）
∴BC⊥平面PAC．（13分）

点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，直线与平面垂直的性质，熟练掌握空间线线，线面垂直及平行的判定定理，性质定理及几何特征是解答此类问题的关键．