Question

已知函数f（x）的定义域为R，对任意的，且当时，.
(Ⅰ)求证:函数f（x）为奇函数；
(Ⅱ)求证：
(Ⅲ)求函数在区间[-n,n](n)上的最大值和最小值。

Answer 1

(Ⅰ)证明见解析(Ⅱ) 证明见解析(Ⅲ) ，＝2n。

(Ⅰ)证明：∵对任意的  ①
令得     ②…………1分
令得……………………2分
∴ 由②得
∴函数为奇函数………………………………3分
(Ⅱ)证明:（1）当n＝1时等式显然成立
（2）假设当n＝k（k）时等式成立，即，…………4分
则当n＝k＋1时有
，由①得………………6分
∵ ∴
∴当n＝k＋1时，等式成立。
综（1）、（2）知对任意的,成立。………………8分
(Ⅲ)解:设，因函数为奇函数，结合①得
＝，……………………9分
∵
又∵当时，
∴，∴
∴函数在R上单调递减…………………………………………12分
∴ 
由（2）的结论得，
∵，∴＝－2n
∵函数为奇函数，∴
∴ ，＝2n。……………………14分