Question

设函数f（x）=（x-1）e^x-kx²（k∈R），g（x）=-e^x．
（Ⅰ）当x＞0时，设h（x）=-g（x）-（a+1）x（a∈R），讨论函数h（x）的单调性；
（Ⅱ）证明：当k∈（

1

2

，1]，f（k）≥g（0）．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）h′（x）=e^x-（a+1），讨论当a+1≤1，即a≤0时，当a+1＞1，即a＞0时的情况，从而求出单调区间；
（Ⅱ）令m（k）=f（k）-g（0）=（k-1）e^k-k³+1，则m′（k）=k（e^k-3k），令φ(k)=ek-3k ，  k∈(

1

2

 ，  1]，从而φ（k）在(

1

2

 ，  1]上单调递减，得m（k）在(

1

2

 ，  x0)上单调递增，在（x₀，1）上单调递减．进而求出当k∈(

1

2

 ，  1]时，f（x）≥f（0）恒成立．

解答： 解：（Ⅰ）h′（x）=e^x-（a+1）．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
当x＞0时，e^x＞1，故有：
当a+1≤1，即a≤0时，x∈（0，+∞），h′（x）＞0；
当a+1＞1，即a＞0时，x∈（0，+∞），
令h′（x）＞0，得x＞ln（a+1）；
令h′（x）＜0，得0＜x＜ln（a+1），
综上，当a≤0时，h（x）在（0，+∞）上是增函数；
当a＞0时，h（x）在（0，ln（a+1））上是减函数，在（ln（a+1），+∞）上是增函数．
（Ⅱ）令m（k）=f（k）-g（0）=（k-1）e^k-k³+1，则m′（k）=k（e^k-3k），
令φ(k)=ek-3k ，  k∈(

1

2

 ，  1]，
则φ′（x）=e^k-3≤e-3＜0，
所以φ（k）在(

1

2

 ，  1]上单调递减，
而φ(

1

2

)=

e

-

3

2

＞0，φ（1）=e-3＜0，
所以存在x0∈(

1

2

 ，  1)，使得φ（x₀）=0，
所以，当k∈(

1

2

 ，  x0)，φ（k）＞0，故m′（k）＞0；
当k∈（x₀，1），φ（k）＜0，故m′（k）＜0，
所以，m（k）在(

1

2

 ，  x0)上单调递增，在（x₀，1）上单调递减．
又m(

1

2

)=-

1

2

e

+

7

8

＞0，m（1）=0，
所以m（k）≥0在(

1

2

 ，  1]上恒成立．
所以，当k∈(

1

2

 ，  1]时，f（x）≥f（0）恒成立．

点评：本题考察了函数的单调性，导数的应用，考察分类讨论思想，是一道综合题．