Question

已知抛物线x²=2y的焦点为F，直线l：x-2y+2=0交抛物线于A，B两点，则cos∠AFB的值是

 

．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：联立抛物线与直线方程，解出A，B两点的坐标，由两点间的距离公式求出AB的长度，由抛物线定义求出AF和BF的长度，然后直接利用余弦定理求解．

解答： 解：联立抛物线x²=2y与直线l：x-2y+2=0，消去y得x²-x-2=0，解得x₁=-1，x₂=2．
当x₁=-1时，y₁=

1

2

；当x₂=2时，y₂=2．
不妨设A在y轴左侧，于是A，B的坐标分别为（-1，

1

2

），（2，2），
由x²=2y，得2p=2，所以p=

1

2

，则抛物线的准线方程为y=-

1

2

．
由抛物线的定义可得：|AF|=

1

2

-（-

1

2

）=1，|BF|=2-（-

1

2

）=

5

2

，
|AB|=

9+ 9 4

=

3

2

5

，
在三角形AFB中，由余弦定理得：cos∠AFB=

1+ 25 4 - 45 4

2•1• 5 2

=-

4

5

．
故答案为：-

4

5

．

点评：本题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了利用抛物线定义求抛物线上的点到焦点的距离，练习了三角形中的余弦定理，是中档题．