Question

经过原点且与曲线y=

x+9

x+5

相切的切线方程是

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：求出原函数的导函数，设出切点坐标，得到切点处的导数，由直线方程的点斜式得到切线方程，代入原点坐标求得切点横坐标，则答案可求．

解答： 解：由y=

x+9

x+5

，得y′=

x+5-x-9

(x+5)2

=

-4

(x+5)2

，
设切点为（x0，

x0+9

x0+5

），
则y′|x=x0=

-4

(x0+5)2

，
∴切线方程为y-

x0+9

x0+5

=

-4

(x0+5)2

(x-x0)，
∵切线过点（0，0），
∴-

x0+9

x0+5

=

4x0

(x0+5)2

，解得：x₀=-3或x₀=-15．
当x₀=-3时，切线方程为：x+y=0；
当x₀=-15时，切线方程为：x+25y=0．
故答案为：x+y=0或x+25y=0．

点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，过曲线上某点的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是中档题．