Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，PA=AB=2，∠BAD=60°．
（1）求证：BD⊥平面PAC；
（2）求三棱锥C-BPD的高；
（3）求二面角B-PC-D的余弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面垂直的判定,点、线、面间的距离计算

专题：空间角

分析：（1）由菱形的性质，得AC⊥BD；由PA⊥平面ABCD证出PA⊥BD，结合AC、PA是平面PAC内的相交直线，可得BD⊥平面PAC．
（2）以A为原天，以平面ABCD中过A垂直于AD的直线为x轴，以AD为y轴，以AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出三棱锥C-BPD的高．
（3）分别求出平面BPC的法向量和平面DPC的法向量，利用向量法能求出二面角B-PC-D的余弦值．

解答： 解：（1）∵底面ABCD是菱形，∴AC⊥BD
∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴PA⊥BD
又∵AC、PA是平面PAC内的相交直线，
∴直线BD⊥平面PAC．
（2）解：以A为原点，以平面ABCD中过A垂直于AD的直线为x轴，以AD为y轴，
以AP为z轴，建立空间直角坐标系，
由题意知C（

3

，3，0），B（

3

，1，0），
P（0，0，2），D（0，2，0），

PB

=(

3

，1，-2)，

PD

=(0，2，-2)，

PC

=(

3

，3，-2)，
设平面PBD的法向量

n

=(x，y，z)，
则

n • PB = 3 x+y-2z=0 n • PD =2y-2z=0

，
取y=1，得

n

=(

3

3

，1，1)，
∴三棱锥C-BPD的高：
h=

| n • PC |

| n |

=

|1+3-2|

7 3

=

2 21

7

．
（3）解：设平面BPC的法向量

m

=(x1，y1，z1)，
则

m • PB = 3 x1+y1-2z1=0 m • PC = 3 x1+3y1-2z1=0

，
取x₁=2

3

，得

m

=（2

3

，0，3），
设平面DPC的法向量

p

=(x2，y2，z2)，
则

p • PC = 3 x2+3y2-2z2=0 p • PD =2y2-2z2=0

，
取y₂=1，得

p

=(-

3

3

，1，1)，
设二面角B-PC-D的平面角为θ，
cosθ=|cos＜

m

，

p

＞|=|

-2+3

21 • 7 3

|=

1

7

．
∴二面角B-PC-D的余弦值为

1

7

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查三棱锥的高的求法，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．