Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a，b是方程x²-2

5

x+4=0的两个根，且2cos（A+B）=1，求：
（1）∠C的度数；   
（2）边c的长度．

Answer 1

考点：余弦定理,余弦定理的应用

专题：三角函数的求值

分析：（1）已知第二个等式变形求出cos（A+B）的值，根据A+B的范围确定出A+B的度数，即可求出C的度数；
（2）利用韦达定理求出a+b与ab的值，再利用余弦定理列出关系式，将a+b与ab的值代入计算即可求出c的值．

解答： 解：（1）∵2cos（A+B）=1，
∴cos（A+B）=

1

2

，
∵C为三角形的内角，
∴0＜A+B＜180°，
∴A+B=60°，
则C=120°；
（2）∵a，b是方程x²-2

5

x+4=0的两个根，
∴a+b=2

5

，ab=4，
由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC=a²+b²+ab=（a+b）²-ab=20-4=16，
则c=4．

点评：此题考查了余弦定理，韦达定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．