Question

【题目】如图，直三棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱）ABC﹣A1B1C1中，点G是AC的中点．

（1）求证：B1C∥平面 A1BG；

（2）若AB=BC， ，求证：AC1⊥A1B．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】试题分析：（1）连结，交于点，连结，由三角形中位线定理得，由此能证明平面；（2）由线面垂直得，由已知推导出，从而得到，由此能证明.

试题解析：（1）证明：连结AB1，交A1B于点O，连结OG，在△B1AC中，∵G、O分别为AC、AB1中点，∴OG∥B1C，又∵OG平面A1BG，B1C平面A1BG，∴B1C∥平面 A1BG．

（2）证明：∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，BG平面ABC，∴AA1⊥BG，∵G为棱AC的中点，AB=BC，∴BG⊥AC，∵AA1∩AC=A，∴BG⊥平面ACC1A1，∴BG⊥AC1，∵G为棱AC中点，设AC=2，则AG=1，∵，∴在Rt△ACC1和Rt△A1AG中，，∴∠AC1C=∠A1GA=∠A1GA+∠C1AC=90°，∴A1G⊥AC1，∵，∴AC1⊥平面A1BG，∵A1B平面A1BG，∴AC1⊥A1B.