【题目】设函数(
).
(1)若函数在定义域上是单调函数,求实数
的取值范围;
(2)求函数的极值点;
(3)令,
,设
,
,
是曲线
上相异三点,其中
.求证:
.
【答案】(1)实数的取值范围是
(2)时,
有唯一极小值点
,
时,
有一个极大值点
和一个极小值点
;
时,
无极值点.
(3)证明见解析
【解析】试题分析:(1)利用导数转化为: 或
在
上恒成立.再根据变量分离转化为对应函数最值:
最大值或
最小值,即得
.(2)实质为讨论一元二次方程
解的情况:当
时,方程无解,函数无极值点;
时,方程有一解,函数有一个极值点;
时,方程有两解,函数有两个极值点;(3)借助第三量
进行论证,先证
,代入化简可得
,构造函数
,其中
(
),利用导数易得
在
上单调递增,即
,即有
,同理可证
,
试题解析:解:(1),
函数
在定义域上是单调函数,
或
在
上恒成立.
若恒成立,得
.
若恒成立,即
恒成立.
在
上没有最小值,
不存在实数
使
恒成立.
综上所述,实数的取值范围是
.
(2)由(1)知当时,函数
无极值点.
当时,
有两个不同解,
,
,
时,
,
,即
,
,
时,
在
上递减,在
上递增,
有唯一极小值点
;
当时,
.
,
,
在
上递增,在
递减,在
递增,
有一个极大值点
和一个极小值点
.
综上所述, 时,
有唯一极小值点
,
时,
有一个极大值点
和一个极小值点
;
时,
无极值点.
(3)先证: ,即证
,
即证
,
令(
),
,
,
所以在
上单调递增,即
,即有
,所以获证.
同理可证: ,
所以.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】2015年年岁史诗大剧《芈月传》风靡大江南北,影响力不亚于以前的《甄嬛传》,某记者调查了大量《芈月传》的观众,发现年龄段与爱看的比例存在较好的线性相关关系,年龄在,
,
,
,
的爱看比例分别为
,
,
,
,
,现用这5个年龄段的中间值
代表年龄段,如12代表
,17代表
,根据前四个数据求得
关于爱看比例
的线性回归方程为
,由此可推测
的值为( )
A. 33 B. 35 C. 37 D. 39
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,直三棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱)ABC﹣A1B1C1中,点G是AC的中点.
(1)求证:B1C∥平面 A1BG;
(2)若AB=BC, ,求证:AC1⊥A1B.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】一支车队有辆车,某天依次出发执行运输任务。第一辆车于下午
时出发,第二辆车于下午
时
分出发,第三辆车于下午
时
分出发,以此类推。假设所有的司机都连续开车,并都在下午
时停下来休息.
到下午时,最后一辆车行驶了多长时间?
如果每辆车的行驶速度都是,这个车队当天一共行驶了多少
?
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图1,已知在菱形中,
,
为
的中点,现将四边形
沿
折起至
,如图2.
(1)求证: 面
;
(2)若二面角的大小为
,求平面
与平面
所成锐二面角的余弦值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数y=f(x)的定义域为R,当x<0时,f(x)>1,且对任意的实数x,y∈R,等式f(x)f(y)=f(x+y)成立,若数列{an}满足 ,(n∈N*),且a1=f(0),则下列结论成立的是( )
A.f(a2013)>f(a2016)
B.f(a2014)>f(a2015)
C.f(a2016)<f(a2015)
D.f(a2014)<f(a2016)
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆C: (a>b>0)的离心率为
,以原点O为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+
=0相切.
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)若直线l:y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点,且kOAkOB=﹣,判断△AOB的面积是否为定值?若为定值,求出定值;若不为定值,说明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在△ABC中,周长为7.5cm,且sinA:sinB:sinC=4:5:6,下列结论:
①a:b:c=4:5:6 ②a:b:c=2: ③a=2cm,b=2.5cm,c=3cm ④A:B:C=4:5:6
其中成立的个数是( )
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】根据国家环保部新修订的《环境空气质量标准》规定:居民区的年平均浓度不得超过35微克/立方米,
的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米.我市环保局随机抽取了一居民区2016年30天
的24小时平均浓度(单位:微克/立方米)的监测数据,将这30天的测量结果绘制成样本频率分布直方图如图.
(Ⅰ)求图中的值;
(Ⅱ)由频率分布直方图中估算样本平均数,并根据样本估计总体的思想,从的年平均浓度考虑,判断该居民区的环境质量是否需要改善?并说明理由.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com