Question

（本小题满分14分）设函数,.
（Ⅰ）当时，在上恒成立，求实数的取值范围；
（Ⅱ）当时，若函数在上恰有两个不同零点，求实数的取值范围；
（Ⅲ）是否存在实数，使函数和函数在公共定义域上具有相同的单调性？若存在，求出的值，若不存在，说明理由.

Answer 1

解：（Ⅰ）由a=0,f(x)≥h(x)可得-mlnx≥-x　即 ┉┉┉┉┉┉┉┉1分
记，则f(x)≥h(x)在(1,+∞)上恒成立等价于.
求得 ┉┉┉┉┉┉┉┉2分
当时;;当时， ┉┉┉┉┉┉┉┉3分
故在x=e处取得极小值，也是最小值，
即，故. ┉┉┉┉┉┉┉┉4分
（Ⅱ）函数k(x)=f(x)-h(x)在［1,3］上恰有两个不同的零点等价于方程x-2lnx=a，在［1,3］上恰有两个相异实根。┉┉┉┉┉┉┉┉5分
令g(x)=x-2lnx,则 ┉┉┉┉┉┉┉┉6分
当时，,当时，
g(x)在[1,2]上是单调递减函数，在上是单调递增函数。
故 ┉┉┉┉┉┉┉┉8分
又g(1)=1,g(3)=3-2ln3
∵g(1)>g(3),∴只需g(2)<a≤g(3),
故a的取值范围是(2-2ln2,3-2ln3) ┉┉┉┉┉┉┉┉9分
（Ⅲ）存在m=，使得函数f(x)和函数h(x)在公共定义域上具有相同的单调性
,函数f(x)的定义域为（0,+∞）。┉┉┉┉┉┉10分
若，则，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，不合题意;┉┉┉11分
若,由可得2x²-m>0，解得x>或x<-（舍去）
故时，函数的单调递增区间为(,+∞)
单调递减区间为(0, ) ┉┉┉┉┉┉┉┉12分
而h(x)在(0,+∞)上的单调递减区间是(0,)，单调递增区间是(，+∞)
故只需=，解之得m= ┉┉┉┉┉┉┉┉13分
即当m=时，函数f(x)和函数h(x)在其公共定义域上具有相同的单调性。┉14分.

解析