Question

11．若m=${∫}_{-1}^{1}$（6x²+tanx）dx，且（2x+$\sqrt{3}$）^m=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_mx^m，则（a₀+a₂+…+a_m）²-（a₁+..+a_m-1）²的值为1．

Answer 1

分析 m=${∫}_{-1}^{1}$（6x²+tanx）dx=$（2{x}^{3}）{|}_{-1}^{1}$+${∫}_{-1}^{1}tanxdx$=4，可得$（2x+\sqrt{3}）^{4}$=a₀+a₁x+a₂x²+…+${a}_{4}{x}^{4}$，分别令x=1，x=-1，即可得出．

解答 解：m=${∫}_{-1}^{1}$（6x²+tanx）dx=$（2{x}^{3}）{|}_{-1}^{1}$+${∫}_{-1}^{1}tanxdx$=4，
∴$（2x+\sqrt{3}）^{4}$=a₀+a₁x+a₂x²+…+${a}_{4}{x}^{4}$，
令x=1，则a₀+a₁+a₂+a₃+a₄=$（2+\sqrt{3}）^{4}$，
令x=-1，则a₀-a₁+a₂-a₃+a₄=$（2-\sqrt{3}）^{4}$，
则（a₀+a₂+a₄）²-（a₁+a₃）²=（a₀+a₁+a₂+a₃+a₄）（a₀-a₁+a₂-a₃+a₄）=$（2+\sqrt{3}）^{4}$$（2-\sqrt{3}）^{4}$=1．
故答案为：1．

点评 本题考查了微积分基本定理、二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．