Question

16．设A是双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的右顶点，F（c，0）是右焦点，若抛物线${y^2}=-\frac{{4{a^2}}}{c}x$的准线l上存在一点P，使∠APF=30°，则双曲线的离心率的范围是（　　）

• A． [2，+∞）
• B． （1，2]
• C． （1，3]
• D． [3，+∞）

Answer 1

分析 求出抛物线的准线l的方程，设l与x轴的交点为H，设P（$\frac{{a}^{2}}{c}$，h），h＞0，运用直角三角形的正切函数的定义和两角差的正切公式，结合基本不等式，化简整理，运用离心率公式可得3e²-4e-4≥0，解不等式即可得到所求范围．

解答 解：抛物线${y^2}=-\frac{{4{a^2}}}{c}x$的准线l为x=$\frac{{a}^{2}}{c}$，
双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的右顶点A（a，0），
F（c，0）是右焦点，
设l与x轴的交点为H，设P（$\frac{{a}^{2}}{c}$，h），h＞0，
在直角三角形PHA中，可得tan∠APH=$\frac{AH}{PH}$=$\frac{a-\frac{{a}^{2}}{c}}{h}$，
在直角三角形PHF中，可得tan∠FPH=$\frac{FH}{PH}$=$\frac{c-\frac{{a}^{2}}{c}}{h}$，
即有tan∠APF=tan（∠FPH-∠APH）
=$\frac{\frac{c-\frac{{a}^{2}}{c}}{h}-\frac{a-\frac{{a}^{2}}{c}}{h}}{1+\frac{（c-\frac{{a}^{2}}{c}）（a-\frac{{a}^{2}}{c}）}{{h}^{2}}}$=$\frac{c-a}{h+\frac{（c-\frac{{a}^{2}}{c}）（a-\frac{{a}^{2}}{c}）}{h}}$≤$\frac{c-a}{2\sqrt{（c-\frac{{a}^{2}}{c}）（a-\frac{{a}^{2}}{c}）}}$，
即为tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤$\frac{c-a}{2\sqrt{（c-\frac{{a}^{2}}{c}）（a-\frac{{a}^{2}}{c}）}}$，
化简可得3c²≥4ac+4a²，
由e=$\frac{c}{a}$可得3e²-4e-4≥0，
解得e≥2或e≤-$\frac{2}{3}$（舍去），
故选：A．

点评 本题考查双曲线的离心率的范围，注意运用双曲线的性质和基本不等式，以及两角差的正切公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．