Question

6．已知函数f（x）=x²+1，g（x）=2alnx+1（a∈R）
（1）求函数h（x）=f（x）-g（x）的极值；
（2）当a=e时，是否存在实数k，m，使得不等式g（x）≤kx+m≤f（x）恒成立？若存在，请求实数k，m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）求导，分类讨论，根据导数与函数单调性的关系，根据函数的单调性即可求得h（x）极值；
（2）当a=e时，由f（x）-g（x）≥0，当且仅当x=$\sqrt{e}$时，取等号，由f′（$\sqrt{e}$）=g′（$\sqrt{e}$），则x=$\sqrt{e}$时，y=f（x）与y=g（x）有公切线，切线方程y=2$\sqrt{e}$x+1-e，即可求得实数k，m的值．

解答 解：（1）h（x）=f（x）-g（x）=x²-2alnx，x＞0，
h′（x）=$\frac{2（{x}^{2}-a）}{x}$，
当a≤0，h′（x）＞0，则h（x）在（0，+∞）上单调递增，无极值，
当a＞0时，h′（x）＞0，即x²-a＞0，解得：a＞$\sqrt{a}$或x＜-$\sqrt{a}$，（舍去）
h′（x）＜0，即x²-a＜0，解得：0＜x＜$\sqrt{a}$，
∴h（x）在（0，$\sqrt{a}$）单调递减，在（$\sqrt{a}$，+∞）单调递增，
∴h（x）的极小值为h（$\sqrt{a}$）=a-2aln$\sqrt{a}$=a-alna，无极大值；
（2）当a=e时，h（$\sqrt{a}$）=h（$\sqrt{e}$）=e-elne=0，此时h（x）=f（x）-g（x）=0，
∴f（x）-g（x）≥0，当且仅当x=$\sqrt{e}$时，取等号；
f′（x）=2x，f′（$\sqrt{e}$）=2$\sqrt{e}$，g′（x）=$\frac{2e}{x}$，g′（$\sqrt{e}$）=2$\sqrt{e}$，
∴f′（$\sqrt{e}$）=g′（$\sqrt{e}$），
且在x=$\sqrt{e}$处f（$\sqrt{e}$）=g（$\sqrt{e}$）=e+1，
即x=$\sqrt{e}$时，y=f（x）与y=g（x）有公切线，切线方程y=2$\sqrt{e}$x+1-e，
此时g（x）=2$\sqrt{e}$x+1-e=f（x），满足g（x）≤kx+m≤f（x）恒成立，
解得：k=2$\sqrt{e}$，m=1-e，
实数k，m的值分别为2$\sqrt{e}$，1-e．

点评 本题考查导数的综合应用，考查利用导数的求函数的单调性及最值，考查利用导数求曲线的切线方程，考查计算能力，属于中档题．