Question

17．在三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD，∠BCD=90°，E、F分别是AC、AD上的点，且$\frac{AE}{AC}=\frac{AF}{AD}$．
（1）求证：平面BEF⊥平面ABC；
（2）若平面BEF⊥平面ACD，求证：BE⊥AC．

Answer 1

分析 （1）证明EF∥平面ABC得出平面BEF⊥平面ABC；
（2）根据面面垂直的性质得出AC⊥平面BEF，故而BE⊥AC．

解答 证明：（1）∵$\frac{AE}{AC}=\frac{AF}{AD}$，∴EF∥CD，
∵AB⊥平面BCD，CD?平面BCD，
∴AB⊥CD，
∴EF⊥AB，
又CD⊥BC，EF∥CD，
∴EF⊥BC，
∵AB∩BC=B，AB、BC?平面ABC，
∴EF⊥平面ABC，∵EF?平面BEF，
∴平面BEF⊥平面ABC．
（2）由（1）知，EF⊥平面ABC，又AC?平面ABC，
∴AC⊥EF，
又平面BEF⊥平面ACD，平面BEF∩平面ACD=EF，BE?平面BEF，
∴BE⊥平面ACD，AC?平面ACD，
∴BE⊥AC．

点评 本题考查了面面垂直的判定与性质，属于中档题．