Question

【题目】设、分别是椭圆的左、右焦点.

（1）若是该椭圆上的一个动点，求的最大值与最小值.

（2）是否存在过点的直线与椭圆交于不同的两点，使得？若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）最小值3，最大值4；（2）不存在

【解析】

试题（1）将数量积转化为坐标表示，利用坐标的有界性求出最值；（2）设出直线方程，根据|F2C|＝|F2D|，可知F2在弦CD的中垂线上，利用中点和斜率关系，写出中垂线方程，代入F2点即可判断.或者根据焦半径公式判断更为简洁.

试题解析：（1）易知a＝，b＝2，c＝1，∴F1（－1，0），F2（1，0）

设P（x，y），则

＝（－1－x，－y）·（1－x，－y）

＝x2＋y2－1

＝x2＋4－x2－1

＝x2＋3

∵x2∈[0，5]，

当x＝0，即点P为椭圆短轴端点时，有最小值3；

当x＝±，即点P为椭圆长轴端点时，有最大值4.

（2）法一、假设存在满足条件的直线l，易知点A（5，0）在椭圆外部，当直线斜率不存在时，直线l与椭圆无交点.

所以满足条件的直线斜率存在，设为k

则直线方程为y＝k（x－5）

由方程组

得：（5k2＋4）x2－50k2x＋125k2－20＝0

依题意，△＝20（16－80k2）＞0

得：

当时，设交点为C（x1，y1），D（x2，y2），CD中点为R（x0，y0）

则x1＋x2＝，x0＝

∴y0＝k（x0－5）＝k（－5）＝

又|F2C|＝|F2D|，有F2R⊥l，即＝－1

即＝－1

即20k2＝20k2－4，

该等式不成立，所以满足条件的直线l不存在.

法二、设交点为C（x1，y1），D（x2，y2），

设它们到右准线x＝的距离分别为d1、d2，

根据椭圆第二定义，有

因为|F2C|＝|F2D|，故d1＝d2，于是x1＝x2，

于是CD所在直线l⊥x轴

又直线l经过A（5，0）点，于是l的方程为x＝5

但x＝5与椭圆无公共点，所以，满足条件的直线不存在.