Question

（本小题共14分）如图，四边形与均为菱形， ，且．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求证：∥平面；

（Ⅲ）求二面角的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）证明：设AC与BD相交于点O，连结FO．

因为 四边形ABCD为菱形，所以，

且O为AC中点． 1分

又FA=FC，所以 ． 3分

因为 ，

所以 平面BDEF． 4分

（Ⅱ）证明：因为四边形ABCD与BDEF均为菱形，

所以AD//BC，DE//BF，

所以 平面FBC//平面EAD． 7分

又平面FBC，

所以FC// 平面EAD． 8分

（Ⅲ）【解析】
因为四边形BDEF为菱形，且，所以△DBF为等边三角形．

因为O为BD中点，所以，故平面ABCD．

由OA,OB,OF两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz． 9分

设AB=2．因为四边形ABCD为菱形，，则BD=2，所以OB=1，

．

所以 ．

所以 ，．

设平面BFC的法向量为，则有

所以 取x=1，得． 12分

易知平面AFC的法向量为． 13分

由二面角A-FC-B是锐角，得 ．

所以二面角A-FC-B的余弦值为． 14分

考点：本题考查线面平行的判定，线面垂直的判定，求二面角