Question

2．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足：S_n=2a_n-2，n∈N*
（1）求数列{a_n}的通项公式
（2）若b_n=log₂a_n，求数列$\{\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}\}$的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）求出数列的首项，推出数列是等比数列，然后求解通项公式．
（2）利用对数运算化简数列，通过裂项法求和求解即可．

解答 解：（1）数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足：S_n=2a_n-2，n∈N*
，当n=1时，解得a₁=2，当n≥2时，S_n-1=2a_n-1-2，可得：a_n=2a_n-2a_n-1，可得a_n=2a_n-1，所以数列{a_n}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以数列是的通项公式：a_n=2ⁿ．
（2）b_n=log₂a_n=n，
则：$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
数列$\{\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}\}$的前n项和T_n=$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$=1$-\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查数列的递推关系式，数列求和的应用、错位相减法及裂项相消法对数列求和，考查学生综合运用知识解决问题的能力．