Question

8．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点是F，点D（1，y₀）是抛物线C上的点，且|$\overrightarrow{DF}$|=3．
（1）若直线l经过点E（1，2）交抛物线C于A、B两点，当AE=4EB时，求直线l的方程；
（2）已知点M（m，0）（m＞0），过点M作直线l₁交抛物线C于P、Q两点，G是线段PQ的中点，过点M作与直线l₁垂直的直线l₂交抛物线C于S、T两点，H是线段ST的中点（如图所示），求△MGH面积的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用抛物线的定义，求出p，即可求出求抛物线C的方程；设直线l的方程为x=my+1-2m，代入y²=8x，利用AE=4EB，求出m，即可求直线l的方程；
（2）设出PQ：x=ky+m，与抛物线方程联立，求出G的坐标，同理可得H的坐标，求出GH的斜率，可得GH的方程，从而可得直线GH过定点，表示出△MGH面积，利用基本不等式，即可求出△MGH面积S的最小值．

解答 解：（1）∵点F是抛物线y²=2px（p＞0）的焦点，点D（1，y₀）是抛物线C上的点，且|$\overrightarrow{DF}$|=3，
∴1+$\frac{p}{2}$=3，
解得：p=4，∴y²=8x．
设直线l的方程为x=my+1-2m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
x=my+1-2m代入y²=8x，可得y²-8my-8+16m=0，
∴y₁+y₂=8m①，y₁y₂=-8+16m②，
∵AE=4EB，
∴（1-x₁，2-y₁）=4（x₂-1，y₂-2），
∴2-y₁=4（y₂-2）③，
由①②③可得m=$\frac{7}{8}$或$\frac{1}{8}$，
∴直线l的方程为8x-7y+6=0或8x-y-6=0；
（2）显然PQ，ST的斜率都存在且不为零．
设PQ：x=ky+m，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
代入y²=8x，得，y²-8ky-8m=0，
∴y_G=4k，x_G=4k²+m．
同理y_H=-$\frac{4}{k}$，x_H=$\frac{4}{{k}^{2}}$+m．
即G（4k²+m，4k），H（$\frac{4}{{k}^{2}}$+m，-$\frac{4}{k}$），
∴k_GH=$\frac{k}{{k}^{2}-1}$．
∴GH：y-4k=（$\frac{k}{{k}^{2}-1}$）（x-4k²-m）
∴直线GH过定点（4+m，0）．
∴S=$\frac{1}{2}$×|4+m-m|×|4k+$\frac{4}{k}$|≥16，
当|4k|=|$\frac{4}{k}$|，即k=±1时，S_min=16．

点评 本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查三角形面积的计算，考查基本不等式的运用，属于中档题．