Question

如图，已知四棱锥P－ABCD的底面为直角梯形，AB∥CD，∠DAB＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝DC＝AB＝1，M是PB的中点．

(1)求证：AM＝CM；

(2)若N是PC的中点，求证：DN∥平面AMC.

 

Answer 1

（1）见解析（2）见解析

【解析】(1)在直角梯形ABCD中，AD＝DC＝AB＝1，∴AC＝，BC＝，∴BC⊥AC，

又PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，

∴BC⊥PA，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC.

在Rt△PAB中，M为PB的中点，则AM＝PB，

在Rt△PBC中，M为PB的中点，则CM＝PB，∴AM＝CM.

(2)连接DB交AC于点F，

∵DC=AB，∴DF＝FB.

取PM的中点G，连接DG，FM，则DG∥FM，

又DG?平面AMC，FM?平面AMC，

∴DG∥平面AMC.

连接GN，则GN∥MC，

∴GN∥平面AMC，

又GN∩DG＝G，

∴平面DNG∥平面AMC.

又DN?平面DNG，∴DN∥平面AMC.