Question

19．已知点$A（3，\sqrt{3}）$，O为坐标原点，点P（x，y）满足$\left\{{\begin{array}{l}{\sqrt{3}x-y≤0}\\{x-\sqrt{3}y+2≥0}\\{y≥0}\end{array}}\right.$，则满足条件点P所形成的平面区域的面积为$\sqrt{3}$，$\frac{{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OP}}}{{|\overrightarrow{OA}|}}$的最大值是$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，直接由三角形的面积公式求平面区域的面积，然后令z=$\frac{{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OP}}}{{|\overrightarrow{OA}|}}$，运用数量积运算和模的公式化简，再由线性规划知识求其最大值．

解答 解：由约束条件$\left\{{\begin{array}{l}{\sqrt{3}x-y≤0}\\{x-\sqrt{3}y+2≥0}\\{y≥0}\end{array}}\right.$作差可行域如图，

由图可知，B（-2，0），
联立$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}x-y=0}\\{x-\sqrt{3}y+2=0}\end{array}\right.$，解得：A（1，$\sqrt{3}$），
则平面区域为△OAB及其内部区域，面积为$S=\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}=\sqrt{3}$；
令z=$\frac{{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OP}}}{{|\overrightarrow{OA}|}}$=$\frac{3x+\sqrt{3}y}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{1}{2}y$，
化为直线方程的斜截式得：$y=-\sqrt{3}x+2z$，
由图可知，当直线$y=-\sqrt{3}x+2z$过A（1，$\sqrt{3}$）时直线在y轴上的截距最大，z有最大值为$-\sqrt{3}+2\sqrt{3}=\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，是中档题．