Question

2．已知在某两个正数x，y之间，若插入一个数a，使x，a，y成等差数列，若插入两个数b，c，使x，b，c，y成等比数列．求证：（a+1）²≥（b+1）（c+1）．

Answer 1

分析 根据等差、等比中项的性质列出方程组，消去x、y化简得 到关于a、b、c的关系，利用分析法、基本不等式、立方和公式化简证明结论成立．

解答 证明：∵x，a，y成等差数列、且x、y＞0，x，b，c，y成等比数列，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a=x+y}\\{bc=xy}\\{{b}^{2}=xc}\\{{c}^{2}=by}\end{array}\right.$，消去x、y化简可得2a=$\frac{{b}^{2}}{c}+\frac{{c}^{2}}{b}$，
要证：（a+1）²≥（b+1）（c+1），
只要证：a+1≥$\sqrt{（b+1）（c+1）}$，
又$\sqrt{（b+1）（c+1）}≤\frac{b+c+2}{2}$=$\frac{b+c}{2}$+1，
只要证：a≥$\frac{b+c}{2}$，即2a≥b+c，
∵2a=$\frac{{b}^{2}}{c}+\frac{{c}^{2}}{b}$，∴$\frac{{b}^{2}}{c}+\frac{{c}^{2}}{b}$≥b+c，
即b³+c³≥bc（b+c），
（b+c）（b²-bc+c²）≥bc（b+c），
∴b²-bc+c²≥bc，
则b²-2bc+c²=（b+c）²≥0显然成立，
所以a+1）²≥（b+1）（c+1）成立．

点评 本题考查等差、等比中项的性质，分析法、基本不等式、立方和公式，以及化简、变形能力，属于中档题．