Question

7．如图所示，已知在△ABC中，∠C=90°，PA⊥平面ABC，AE⊥PB交PB于E，AF⊥PC于F，AP=AB=2，∠AEF=θ，当θ变化时，求三棱锥P-AEF的体积的最大值．

Answer 1

分析 等腰Rt△PAB中，算出AE=PE=BE．由线面垂直的判定与性质，证出PB⊥面AEF，得PB⊥EF．在Rt△AEF中，算出AF、EF，可得S_△AEF，利用三角函数知识，即可得出答案．

解答 解：在Rt△PAB中，PA=AB=2，∴PB=2$\sqrt{2}$，
∵AE⊥PB，∴AE=$\frac{1}{2}$PB=$\sqrt{2}$，∴PE=BE=$\sqrt{2}$．
∵PA⊥底面ABC，得PA⊥BC，AC⊥BC，PA∩AC=A
∴BC⊥平面PAC，可得AF⊥BC
∵AF⊥PC，BC∩PC=C，∴AF⊥平面PBC
∵PB?平面PBC，∴AF⊥PB
∵AE⊥PB且AE∩AF=A，∴PB⊥面AEF，
结合EF?平面AEF，可得PB⊥EF．
∵AF⊥平面PBC，EF?平面PBC．∴AF⊥EF．
∴Rt△AEF中，AF=$\sqrt{2}$sinθ，EF=$\sqrt{2}$cosθ
∴S_△AEF=$\frac{1}{2}$AF•EF=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$sinθ×$\sqrt{2}$cosθ=$\frac{1}{2}$sin2θ
∴当sin2θ=1，即θ=45°时，S_△AEF有最大值为$\frac{1}{2}$，
此时，三棱锥P-AEF的体积的最大值为$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{6}$．

点评 本题着重考查了线面垂直的判定与性质、解直角三角形等知识点，属于中档题．同时考查了空间想象能力、计算能力和逻辑推理能力，是一道综合性较强的题．