Question

【题目】如图，四边形是边长为2的菱形，且，平面，，，点是线段上任意一点．

(1)证明：平面平面；

(2)若的最大值是，求三棱锥的体积．

Answer 1

【答案】(1)见证明；(2)

【解析】

（1）推导出AC⊥BM，AC⊥BD，得AC⊥平面BMND，从而可得到证明;（2）由AE＝CE和余弦定理可知，当AE最短即AE⊥MN，CE⊥MN时∠AEC最大，取MN中点H，连接H与AC、BD的交点O，知OH⊥平面ABCD，分别以直线，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设，利用二面角的平面角为，可求出a,然后利用VM﹣NAC＝VM﹣EAC+VN﹣EAC可得结果.

(1)因为平面，则.

又四边形是菱形，则，又,

所以平面,因为AC在平面内，

所以平面平面.

(2)设与的交点为，连结. 因为平面，则，又为的中点，则，由余弦定理得，．当AE最短时∠AEC最大，此时，，，因为AC=2,,OE=. 取MN的中点H，分别以直线，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，

设，则点， ，，．设平面的法向量，

则,即 ，取，则，

同理求得平面的法向量.

因为是二面角 的平面角，则

，解得或．

由图可知a<OE=,故 (舍去)，，

因为，，，

则.