Question

1．如图，函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象与坐标轴的三个交点分别为P（-1，0），Q、R，且线段RQ的中点M的坐标为（$\frac{3}{2}$，-$\frac{1}{2}$），则f（-2）等于（　　）

• A． 1
• B． -1
• C． $\frac{\sqrt{6}}{2}$
• D． -$\frac{\sqrt{6}}{2}$

Answer 1

分析 根据函数f（x）的部分图象，利用线段RQ的中点M坐标求出R、Q的坐标，
求出周期T、ω以及A、φ的值，写出f（x）的解析式，计算f（-2）的值．

解答 解：根据函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象知，
P（-1，0），设Q（0，b），R（a，0），
∵线段RQ的中点M的坐标为（$\frac{3}{2}$，-$\frac{1}{2}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{2}=\frac{3}{2}}\\{\frac{b}{2}=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
解得a=3，b=-1；
∴$\frac{T}{2}$=3-（-1）=4，
解得T=8，
∴ω=$\frac{2π}{T}$=$\frac{2π}{8}$=$\frac{π}{4}$；
当x=3时，f（3）=Asin（$\frac{π}{4}$×3+φ）=0，
根据五点法画图，令$\frac{3π}{4}$+φ=0，解得φ=-$\frac{3π}{4}$；
又f（0）=Asin（-$\frac{3π}{4}$）=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$A=-1，解得A=$\sqrt{2}$，
∴f（x）=$\sqrt{2}$sin（$\frac{π}{4}$x-$\frac{3π}{4}$），
∴f（-2）=$\sqrt{2}$sin（-$\frac{π}{2}$-$\frac{3π}{4}$）=-$\sqrt{2}$cos$\frac{3π}{4}$=1．
故选：A．

点评 本题考查了函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象与性质的应用问题，是综合题．