Question

（本小题满分14分）已知函数，其中常数.

（Ⅰ）当时，求函数的极值点；

（Ⅱ）证明：对任意恒成立；

（Ⅲ）对于函数图象上的不同两点，如果在函数图象上存在点（其中）,使得在点M处的切线∥AB，则称直线AB存在“伴侣切线”．特别地，当，又称直线AB存在“中值伴侣切线”．

试问：当时，对于函数图象上不同两点A、B，直线AB是否存在“中值伴侣切线”,并证明你的结论．

Answer 1

（Ⅰ） 为函数的极大值点，为函数的极小值点；

（Ⅱ） 详见解析；

（Ⅲ）不存在“中值伴侣切线”，详见解析.

【解析】

试题分析：（Ⅰ））当时，，先求，再结合导数的符号研究函数的单调性并求出极值点；

（Ⅱ） 令 利用导数研究此函数的最值，证明即可；

（Ⅲ）当，，，假设函数存在“中值伴侣切线”.

设A,是曲线上的不同点，且，

利用斜率公式求出,由导数的几何意义得处切线 的斜率，结合（Ⅱ）的结果可知方程无解.

试题解析：（Ⅰ）当时，

1分，

时

当或时，即在上单调递增 2分，

当时，，在上单调递减 3分，

为函数的极大值点，为函数的极小值点 4分

（Ⅱ）令 6分

所以在上递增,（当且仅当x=1时等号成立），

即证： 对任意恒成立； 8分

（Ⅲ）当，，，假设函数存在“中值伴侣切线”.

设A,是曲线上的不同点，且，

则直线AB的斜率： 9分

曲线在点处的切线斜率： 10分

依题意：,即化简得， 11分

即 设 ，上式化为, 12分

由（2）知时，恒成立.所以在内不存在,使得成立.

综上所述，假设不成立.所以，函数不存在“中值伴侣切线” 14分

考点：1、导数的几何意义；2、导数在研究函数性质中的应用.