Question

对于函数f（x），若在定义域内存在实数x，满足f（-x）=-f（x），则称f（x）为“局部奇函数”．
（Ⅰ）已知函数f（x）=ax²+2x-4a（a∈R，a≠0），试判断f（x）是否为“局部奇函数”？并说明理由；
（Ⅱ）若f（x）=4^x-m•2^x+1+m²-3为定义域R上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）若f（x）为“局部奇函数”，则根据定义验证条件是否成立即可；
（Ⅱ）根据f（x）为定义域R上的“局部奇函数，得到f（-x）=-f（x），恒成立，建立条件关系即可求实数m的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）若f（x）为“局部奇函数”等价于关于x的方程f（-x）+f（x）=0有解．
当f（x）=ax²+2x-4a时，
由f（-x）+f（x）=0得2a（x²-4）=0
解得x=±2，
所以方程f（-x）+f（x）=0有解，
因此f（x）为“局部奇函数”． 
（Ⅱ）当f（x）=4^x-m•2^x+1+m²-3时，f（-x）+f（x）=0可化为4^x+4^-x-2m（2^x+2^-x）+2m²-6=0．
令t=2^x+2^-x，则t≥2，
则4^x+4^-x=t²-2，
从而t²-2mt+2m²-8=0在t≥2有解即可保证f（x）为“局部奇函数”．   
令F（t）=t²-2mt+2m²-8，
1° 当F（2）≤0，t²-2mt+2m²-8=0在x≥2有解，
由F（2）≤0，即2m²-4m-4≤0，解得1-

3

≤m≤1+

3

，
2° 当F（2）＞0时，t²-2mt+2m²-8=0在x≥2有解，等价于

△=4m2-4(2m2-8)≥0 m＞2 F(2)＞0

，
解得1+

3

＜m≤2

2

．
（说明：也可转化为t²-2mt+2m²-8=0的大根大于等于2求解）
综上，所求实数m的取值范围为1-

3

≤m≤2

2

．

点评：本题主要考查与函数奇偶性有关的新定义，根据条件建立方程关系是解决本题的关键，考查学生的计算能力．