Question

对于数集X={-1，x₁，x₂，…，x_n}，其中0＜x₁＜x₂＜…＜x_n，n≥2，定义向量的集合Y={

a

|

a

=（s，t），s∈X，t∈X}，若对任意

a

₁∈Y，存在

a

₂∈Y，使得

a

_l•

a

₂=0，则称X具有性质P．例如{-1，1，2}具有性质P．若X具有性质P，且x₁=1，x₂=q（q为常数），则有穷数列x₁，x₂，…，x_n的通项公式为（　　）

• A、xi=qi-1，i=1，2，…，n
• B、xi=1+(i-1)(q-1)i-1，i=1，2，…，n
• C、x_i=1+（i-1）q，i=1，2，…，n
• D、xi=

  q-2

  2

  i2+

  4-q

  2

  i，i=1，2，…n

Answer 1

考点：数列的函数特性

专题：等差数列与等比数列

分析：解法一：猜想：x_i=q^i-1，i=1，2，3，…，n．记A_k═{-1，x₁，x₂，…，x_k}，k=2，3，…，n．先证明若A_k+1具有性质P，则A_k也具有性质P．再利用“数学归纳法”证明即可；
解法二：设

a1

=（s₁，t₁），

a2

=（s₂，t₂），则

a1

•

a2

=0等价于

s1

t1

=-

t2

s2

．记B={

s

t

|s∈X，t∈X且|s|＞|t|}，数集X具有性质P?数集B关于原点对称．注意到-1是集合X中唯一的负数，B∩（-∞，0）={-x₂，-x₃，-x₄，…，-x_n}，共有n-1个数．B∩（0，+∞）也有n-1个数．证明即可．

解答： 解：解法一：猜想：x_i=q^i-1，i=1，2，3，…，n
记A_k═{-1，x₁，x₂，…，x_k}，k=2，3，…，n
先证明若A_k+1具有性质P，则A_k也具有性质P．
任取

a1

=（s，t），s、t∈A_k，当s、t中出现-1时，显然有

a2

满足

a1

•

a2

=0．
当s、t中都不是-1时，满足s≥1且t≥1．
∵A_k+1具有性质P，∴有

a2

=（s₁，t₁），s₁、t₁∈A_k+1，使得

a1

•

a2

=0．从而s₁、t₁其中有一个为-1．
不妨设s₁=-1，
假设t₁∈A_k+1，且t₁∉A_k，则t₁=x_k+1．由（s，t）（-1，x_k+1）=0，得s=tx_k+1≥x_k+1，与s∈A_k矛盾．
∴t₁∈A_k，从而A_k也具有性质P．
再用数学归纳法，证明x_i=q^i-1，i=1，2，3，…，n
当n=2时，结论显然成立；
假设当n=k时，A_k═{-1，x₁，x₂，…，x_k}具有性质P，则x_i=q^i-1，i=1，2，…，k
当n=k+1时，若A_k+1═{-1，x₁，x₂，…，x_k+1}具有性质P，则A_k═{-1，x₁，x₂，…，x_k}具有性质P，
∴A_k+1═{-1，q，q²，…，q^k-1，x_k+1}．
取

a1

=（x_k+1，q），并设

a2

=（s，t）∈Y，满足

a1

•

a2

=0．，由此可得s=-1或t=-1
若t=-1，则x_k+1=

q

s

＜q，不可能．
∴s=-1，x_k+1=qt=q^j≤q^k且x_k+1≥q^k-1，
因此x_k+1=q^k．
综上所述，x_i=q^i-1，i=1，2，3，…，n．
解法二：设

a1

=（s₁，t₁），

a2

=（s₂，t₂），则

a1

•

a2

=0等价于

s1

t1

=-

t2

s2

．
记B={

s

t

|s∈X，t∈X且|s|＞|t|}，则数集X具有性质P，当且仅当数集B关于原点对称
注意到-1是集合X中唯一的负数，B∩（-∞，0）={-x₂，-x₃，-x₄，…，-x_n}，共有n-1个数．
所以B∩（0，+∞）也有n-1个数．
由于

xn

xn-1

＜

xn

xn-2

＜

xn

xn-3

＜…＜

xn

x2

＜

xn

x1

，已经有n-1个数
对以下三角形数阵：

xn

xn-1

＜

xn

xn-2

＜

xn

xn-3

＜…＜

xn

x2

＜

xn

x1

，

xn-1

xn-2

＜

xn-1

xn-3

＜…＜

xn-1

x1

，
                 …

x3

x2

＜

x3

x1

，

x2

x1

．
注意到

xn

x1

＞

xn-2

x1

＞…＞

x2

x1

，所以

xn

xn-1

=

xn-1

xn-2

=…=

x2

x1

．
从而数列的通项公式是x_k=x₁•（

x2

x1

）^k-1=q^k-1，k=1，2，3，…，n．

点评：本题考查了向量的数量积运算、数学归纳法、等价转化法，考查了较强的推理能力和计算能力，属于难题．