Question

已知函数f（x）=ax²-1，a∈R，x∈R，设集合A={x|f（x）=x}，集合B={x|f（f（x））=x}，且A=B≠∅，求a的取值范围．

Answer 1

考点：集合的包含关系判断及应用

专题：集合

分析：根据条件确定A，B集合的元素，再根据集合A、B相等的条件，求出a的取值范围．

解答： 解：①当a=0时，显然成立
②当a≠0时
∵A≠Ф即方程ax²-1=x有实数根
∴△=（-1）²-4a×（-1）≥0
解得：a≥-

1

4

方程f（f（x））=x可化作：（ax²-x-1）（a²•x²+ax+1-a）=0
∵A=B
∴a²•x²+ax+1-a=0无实数根
∴△=a²-4a²（1-a）＜0
解得：a＜

3

4

∴-

1

4

≤a＜0或0＜a＜

3

4

综上所述，a∈[-

1

4

，

3

4

）

点评：本题主要考查集合的相等等基本运算，属于基础题．要正确判断两个集合间相等的关系，必须对集合的相关概念有深刻的理解，善于抓住代表元素，认清集合的特征．