Question

若2xlnx≤2mx²-1在（1，e）上恒成立，则m的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：综合题,导数的综合应用

分析：先分离参数，构造函数，确定函数的单调性，即可求得m的取值范围．

解答： 解：2xlnx≤2mx²-1，得m≥

lnx

x

+

1

2x2

令函数g（x）=

lnx

x

+

1

2x2

，求导数，可得g′（x）=

1-lnx- 1 x

x2

令f（x）=lnx+

1

x

，则x∈（0，1），f'（x）＜0，f（x）单调递减，
x∈（1，+∞），f'（x）＞0，f（x）单调递增．
∴f（x）＞f（1）=1，即lnx+

1

x

＞1，∴g′（x）=

1-lnx- 1 x

x2

＜0
∴g（x）在x∈（0，+∞），g'（x）＜0，g（x）单调递减，
∴在（1，e）上，函数g（x）=

lnx

x

+

1

2x2

＜

1

2

，
∴m≥

1

2

．
故答案为：m≥

1

2

．

点评：本题考查导数知识的运用，考查恒成立问题，考查分离参数法的运用，解题的关键是确定函数的单调性．