Question

8．如图所示，四棱锥P-ABCD，△ABC为边长为2的正三角形，CD=$\sqrt{3}$，AD=1，PO垂直于平面ABCD于O，O为AC的中点，PO=1，求：
（1）异面直线AB与PC所成角的余弦值；
（2）平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以A为坐标原点建立空间直角坐标系A-xyz，利用向量法能求出异面直线AB与PC所成角的余弦值．
（2）求出平面PAB法向量和平面PCD法向量，利用向量法能求出平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值．

解答 （本小题满分12分）
解：（1）如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系A-xyz，
因为AD=1，CD=$\sqrt{3}$，AC=2，
所以AD⊥CD，∠DAC=$\frac{π}{3}$，
∴AD∥BC．A（0，0，0），$B（\sqrt{3}，\;\;-1，\;\;0）$，$C（\sqrt{3}，\;\;1，\;\;0）$，
D（0，1，0），$O（{\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\;\;\frac{1}{2}，\;\;0}）$，$P（{\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\;\;\frac{1}{2}，\;\;1}）$，…（2分）
$\overrightarrow{AB}=（\sqrt{3}，\;\;-1，\;\;0）$，$\overrightarrow{CP}=（{-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\;\;-\frac{1}{2}，\;\;1}）$，…（3分）
$cos?\overrightarrow{AB}，\;\;\overrightarrow{CP}＞=\frac{{\overrightarrow{AB}\;•\;\overrightarrow{CP}}}{{|\overrightarrow{AB}|×|\overrightarrow{CP}|}}=\frac{-1}{{2×\sqrt{2}}}=-\frac{{\sqrt{2}}}{4}$，…（5分）
异面直线AB与PC所成角的余弦值为$\frac{{\sqrt{2}}}{4}$．…（6分）
（2）设平面PAB法向量为${\vec n_1}$=（x₁，y₁，z₁），
可得$\left\{\begin{array}{l}\frac{{\sqrt{3}}}{2}{x_1}+\frac{1}{2}{y_1}+{z_1}=0\\ \sqrt{3}{x_1}-{y_1}=0，\;\;\end{array}\right.$
令x₁=1，则${\vec n_1}=（1，\;\;\sqrt{3}，\;\;-\sqrt{3}）$，…（8分）
又$\overrightarrow{DP}=（{\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\;\;-\frac{1}{2}，\;\;1}），\;\;\overrightarrow{DC}=（\sqrt{3}，\;\;0，\;\;0）$，
设平面PCD法向量为${\vec n_2}=（{x_2}，{y_2}，{z_2}）$，
可得$\left\{\begin{array}{l}\frac{{\sqrt{3}}}{2}{x_2}-\frac{1}{2}{y_2}+{z_2}=0\\ \sqrt{3}{x_2}=0\end{array}\right.$
令y₂=1，则${\vec n_2}$=$（{0，\;\;1，\;\;\frac{1}{2}}）$，…（10分）
$cos?{\vec n_1}，\;\;{\vec n_2}＞=\frac{{{{\vec n}_1}•{{\vec n}_2}}}{{|{{\vec n}_1}||{{\vec n}_2}|}}=\frac{{\sqrt{105}}}{35}$．
平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值为$\frac{{\sqrt{105}}}{35}$． …（12分）

点评 本题考查异面直线所成角的余弦值和二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．