Question

7．已知函数$y=\frac{1}{3}{x^3}-3x+m$的图象与x轴恰有两个公共点，则m=（　　）

• A． -1或2
• B． -9或3
• C． -1或1
• D． -$2\sqrt{3}$或$2\sqrt{3}$

Answer 1

分析 求导，令y′=0，根据函数单调性即可求得函数的极值点，由题意可知极大值等于0或极小值等于0，即可求得m的值．

解答 解：由函数$y=\frac{1}{3}{x^3}-3x+m$，求导y′=x²-3，令y′=0，解得：x=±$\sqrt{3}$，
令y′＞0，解得x＞$\sqrt{3}$或x＜-$\sqrt{3}$；令y′＜0，可得-$\sqrt{3}$＜x＜$\sqrt{3}$；
∴函数在（-∞，-$\sqrt{3}$），（$\sqrt{3}$，+∞）上单调增，（-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$）上单调减，
∴函数在x=-$\sqrt{3}$处取得极大值，在x=$\sqrt{3}$处取得极小值，
∴函数$y=\frac{1}{3}{x^3}-3x+m$的图象与x轴恰有两个公共点，
∴极大值等于0或极小值等于0，
$\frac{1}{3}$（-$\sqrt{3}$）³-3（-$\sqrt{3}$）+m=0或$\frac{1}{3}$（$\sqrt{3}$）³-3（$\sqrt{3}$）+m=0，
解得：m=2$\sqrt{3}$或m=-2$\sqrt{3}$，
∴m的取值为-2$\sqrt{3}$或2$\sqrt{3}$，
故选D．

点评 本题考查导数的综合利用，利用导数判断函数的单调性及极值，考查计算能力，属于中档题．