Question

12．如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形．
（1）求证：AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH；
（2）若AB=4，CD=6，求四边形EFGH周长的取值范围．

Answer 1

分析 （1）四边形EFGH为平行四边形，所以EF∥HG，HG?平面ABD，EF∥平面ABD，可得AB∥平面EFGH，同理可证，CD∥平面EFGH．
（2）构造函数的思想，设EF=x（0＜x＜4），由于四边形EFGH为平行四边形，∴$\frac{CF}{CB}=\frac{x}{4}$．则$\frac{FG}{6}=\frac{BF}{BC}$=$\frac{BC-CF}{BC}$=1-$\frac{x}{4}$，从而FG=6-$\frac{3x}{2}$，可得四边形EFGH的周长l=2（x+6-$\frac{3x}{2}$），由x的范围可求解．

解答 解：（1）∵四边形EFGH为平行四边形，
∴EF∥HG．
∵HG?平面ABD，∴EF∥平面ABD．
∵EF?平面ABC，平面ABD∩平面ABC=AB，AB?平面EFGH．
∴EF∥AB．∴AB∥平面EFGH．
同理可证，CD∥平面EFGH．
（2）设EF=x（0＜x＜4），由于四边形EFGH为平行四边形，∴$\frac{CF}{CB}=\frac{x}{4}$．
则$\frac{FG}{6}=\frac{BF}{BC}$=$\frac{BC-CF}{BC}$=1-$\frac{x}{4}$，
从而FG=6-$\frac{3x}{2}$，
∴四边形EFGH的周长l=2（x+6-$\frac{3x}{2}$）=12-x．
又∵0＜x＜4，则有：8＜l＜12，
∴四边形EFGH周长的取值范围是（8，12）．

点评 本题考查了直线与平面平行的证明和构造函数思想求解周长问题．利用平行四边形的对边平行相等建立关系．属于基础题．