Question

10．已知正方形ABCD的边长为2，点P、Q分别是边AB、BC边上的动点，且$\overrightarrow{DP}⊥\overrightarrow{AQ}$，则$\overrightarrow{CP}•\overrightarrow{QP}$的最小值为3．

Answer 1

分析 建立坐标系，如图所示根据$\overrightarrow{DP}⊥\overrightarrow{AQ}$，可得$\overrightarrow{DP}•\overrightarrow{AQ}$=0，求得x=y．化简$\overrightarrow{CP}•\overrightarrow{QP}$ 为（x-1）²+3，利用二次函数的性质求得它的最小值．

解答 解：如图，分别以AB、AD所在的直线为x、y轴，建立坐标系，
如图所示：
则A（0，0）、B（2，0）、C（2，2）、D （0，2），
设点P（x，0）、Q（2，y），x、y∈[0，2]，
∴$\overrightarrow{DP}$=（x，-2），$\overrightarrow{AQ}$=（2，y）．
由$\overrightarrow{DP}⊥\overrightarrow{AQ}$，可得$\overrightarrow{DP}•\overrightarrow{AQ}$=2x-2y=0，即x=y．
∴$\overrightarrow{CP}•\overrightarrow{QP}$=（x-2，-2）•（x-2，-y）=（x-2）²+2y=x²-2x+4=（x-1）²+3≥3，
则$\overrightarrow{CP}•\overrightarrow{QP}$的最小值为3，
故答案为：3．

点评 本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，二次函数的性质，属于中档题．