Question

（本小题满分12分）如图,在棱长为2的正方体中，点E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE=BF．

（Ⅰ）求证：A1FC1E；

（Ⅱ）当三棱锥的体积取得最大值时，求二面角的正切值．

Answer 1

（Ⅰ）详见 解析；（Ⅱ） ．

【解析】

试题分析：（Ⅰ） 设．以D为原点建立空间直角坐标系， 写出有关点的坐标，只要证明 即可．

（Ⅱ） 首先把三棱锥的体积表示成的函数，确定当三棱锥的体积取得最大值时的 的值． 利用空间向量的数量积求出平面的法向量为，根据向量的夹角公式求出它与底面的法向量为的夹角的正切值．

试题解析：【解析】
设．以D为原点建立空间直角坐标系，得下列坐标：

，，，，,，,,

,．

（Ⅰ）因为，，

所以．

所以． （4分）

（Ⅱ）因为，

所以当取得最大值时，三棱锥的体积取得最大值．

因为，

所以当时，即E，F分别是棱AB，BC的中点时，三棱锥B1-BEF的体积取得最大值，此时E，F坐标分别为,．

设平面的法向量为，

则得

取，得．显然底面的法向量为．

设二面角的平面角为，由题意知为锐角．

因为，所以，于是．

所以，即二面角的正切值为． （12分）

考点：空间向量在立体几何中的应用．