Question

17．如图，在以A、B、C、D、E为顶点的五面体中，AD⊥平面ABC，AD∥BE，AC⊥CB，AB=2BE=4AD=4．
（1）O为AB的中点，F是线段BE上的一点，BE=4BF，证明：OF∥平面CDE；
（2）当直线DE与平面CBE所成角的正切值为$\frac{2\sqrt{2}}{3}$时，求平面CDE与平面ABC所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）如图1，取BE中点G．连接AG，只需AG∥ED∥OF即可得到OF∥平面CDE
（2）由（Ⅰ）得AG∥DE，∴直线DE与平面CBE所成角等于直线AG与平面CBE所成角．．
易得AC⊥面BCE．连接CG，∴∠AGC就是直线AG与平面CBE所成角，∴tan∠AGC=$\frac{AC}{CG}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$，可得 AC=2$\sqrt{2}$，BC=2$\sqrt{2}$，
连接OC，可得OC⊥AB，故以O为原点，射线OC，OB分别为x，y轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可．

解答 解：（1）证明：如图1，取BE中点G．连接AG，
∵AD∥BE，AB=2BE=4AD=4．∴AD+EG，AD∥EG
∴四边形ADEG为平行四边形，即AG∥ED，
又∵O为AB的中点，F是线段BE上的一点，BE=4BF，
∴F为BG中点，OF∥AG，⇒OF∥DE
∵OF?面CDE，DE?面CDE，∴OF∥平面CDE
                                                                                                                                                                                     


（2）如图2，由（1）得AG∥DE，∴直线DE与平面CBE所成角等于直线AG与平面CBE所成角．．
∵AD⊥平面ABC，AD∥BE，AC⊥CB，∴$\left\{\begin{array}{l}{AC⊥BC}\\{AC⊥BE}\\{BE∩BC=B}\end{array}\right.$⇒AC⊥面BCE．
连接CG，∴∠AGC就是直线AG与平面CBE所成角，∴tan∠AGC=$\frac{AC}{CG}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$，可得sin$∠AGC=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{17}}$
又∵AG=$\sqrt{A{B}^{2}+B{G}^{2}}=\sqrt{17}$，∴AC=2$\sqrt{2}$，
在直角△ABC中，∵AB=4，∴BC=2$\sqrt{2}$，
连接OC，可得OC⊥AB，故以O为原点，射线OC，OB分别为x，y轴，建立空间直角坐标系，
则C（2，0，0），A（0，-2，0），D（0，-2，1），B（0，2，0），E（0，2，2）．
设面CDE的法向量为$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$，$\overrightarrow{CD}=（-2，-2，1）$，$\overrightarrow{CE}=（-2，2，2）$
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CD}=-2x-2y+z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CE}=-2x+2y+2z=0}\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{m}=（3，-1，4）$，
可知平面ABC的法向量为$\overrightarrow{n}=（0，0，2）$．
∴cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{8}{2×\sqrt{26}}=\frac{2\sqrt{26}}{13}$．
平面CDE与平面ABC所成锐二面角的余弦值为$\frac{2\sqrt{26}}{13}$

点评 本题考查了空间线面平行的判定，重点对向量法求空间角的方法与运算能力的进行考查，属于中档题．