Question

8．如图（1），等腰直角三角形ABC的底边AB=4，点D在线段AC上（不含C点），DE⊥AB于E，现将△ADE沿DE折起到△PDE的位置（如图（2））．
（1）求证：PB⊥DE；
（2）若PE⊥BE，AE=1，
①试在线段BP上找一点M，使得CM∥平面PDE，求BM的长；
②求二面角D-PC-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根据线面垂直的判定定理和性质定理进行证明，
（2）①取BF=2，则EF=1，CF∥DE．在PB上取M，使得BM：MP=2：1，则MF∥PE，证明平面MFC∥平面PED，可得结论；
②建立如图所示的坐标系，求出平面PCD、平面PBC的法向量，即可求二面角D-PC-B的余弦值．

解答 证明：（1）∵DE⊥AB，∴DE⊥PE，DE⊥EB．…（2分）
又∵PE∩BE=E，∴DE⊥平面PEB．…（4分）
∵PB?平面PEB，∴PB⊥DE．…（5分）
（2）①取BF=2，则EF=1，CF∥DE．
在PB上取M，使得BM：MP=2：1，则MF∥PE，
∵PE∩DE=E，CF∩MF=F，
∴平面MFC∥平面PED，
∵CM?平面MFC，
∴CM∥平面PED，
∵PE⊥BE，PE⊥DE，BE∩DE=E，
∴PE⊥平面DEBC，
∴PE⊥BE，
∵PE=1，BE=3，
∴PB=$\sqrt{10}$，
∴BM=$\frac{2\sqrt{10}}{3}$；
②建立如图所示的坐标系，则E（0，0，0），D（1，0，0），P（0，0，1），B（0，3，0），
∴$\overrightarrow{PD}$=（1，0，-1），$\overrightarrow{PC}$=（2，1，-1），$\overrightarrow{PB}$=（0，3，-1），
设平面PCD的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{x-z=0}\\{2x+y-z=0}\end{array}\right.$，取x=1，则$\overrightarrow{n}$=（1，-1，1），
同理平面PBC的法向量为$\overrightarrow{m}$=（1，1，3），
∴二面角D-PC-B的余弦值=$\frac{1-1+3}{\sqrt{3}•\sqrt{1+1+9}}$=$\frac{\sqrt{33}}{11}$．

点评 本题主要考查空间直线和平面垂直、平行的性质定理以及二面角D-PC-B的余弦值，考查向量方法的运用，属于中档题．