Question

已知f（x）为定义在（0，+∞）上的可导函数，且f（x）＞xf′（x）恒成立，则不等式x²f（

1

x

）-f（x）＞0的解集为

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,导数的运算

专题：导数的综合应用

分析：令辅助函数F（x）=

f(x)

x

，求其导函数，据导函数的符号与函数单调性的关系判断出F（x）的单调性，利用单调性判断出由不等式

f( 1 x )

1 x

＞

f(x)

x

的关系，利用不等式的性质得到结论．

解答： 解：令F（x）=

f(x)

x

，则F（x）=

xf′(x)-f(x)

x2

，
∵f（x）＞xf′（x），∴F′（x）＜0，
∴F（x）=

f(x)

x

为定义域上的减函数，
由不等式x²f（

1

x

）-f（x）＞0，
得：

f( 1 x )

1 x

＞

f(x)

x

，
∴

1

x

＜x，
∴x＞1，
故答案为：{x|x＞1}．

点评：本题考查了导数的运算，考查了利用导数研究函数单调性，函数的导函数符号确定函数的单调性：当导函数大于0时，函数单调递增；导函数小于0时，函数单调递减．此题为中档题．