Question

已知f（t）=

1-t 1+t

，g（x）=cosx•f（sinx）+sinx•f（cosx），x∈（

π

2

，π）．
（1）将函数g（x）化简成Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，φ∈[-π，π]）的形式；
（2）若g（x₀）=

4 2

5

，且x0∈（

π

2

，

3π

4

），求g（x₀+

π

4

）的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：综合题,三角函数的求值

分析：（1）依题意，可求得g（x）=cosx•

1-sinx

|cosx|

+sinx•

1-cosx

|sinx|

，x∈（

π

2

，π）⇒|cosx|=-cosx，|sinx|=sinx，于是得g（x）=sinx-cosx=

2

sin（x-

π

4

）；
（2）f（x₀）=

4 2

5

⇒sin（x₀-

π

4

）=

4

5

，又x₀∈（

π

2

，

3π

4

），故x₀-

π

4

∈（

π

4

，

π

2

），于是得cos（x₀-

π

4

）=

3

5

，利用f（x₀+

π

4

）=

2

sin[（x₀-

π

4

）+

π

4

]即可求得答案．

解答： 解：（1）g（x）=cosx•

1-sinx 1+sinx

+sinx•

1-cosx 1+cosx

=cosx•

(1-sinx)2 cos2x

+sinx•

(1-cosx)2 sin2x

=cosx•

1-sinx

|cosx|

+sinx•

1-cosx

|sinx|

，
∵x∈（

π

2

，π），
∴|cosx|=-cosx，|sinx|=sinx，
∴g（x）=cosx•

1-sinx

-cosx

+sinx•

1-cosx

sinx

=sinx-cosx
=

2

sin（x-

π

4

）；
（2）∵f（x₀）=

4 2

5

，由（1）有f（x₀）=

2

sin（x₀-

π

4

）=

4 2

5

，即sin（x₀-

π

4

）=

4

5

．
又x₀∈（

π

2

，

3π

4

），故x₀-

π

4

∈（

π

4

，

π

2

），
∴cos（x₀-

π

4

）=

3

5

．
∴f（x₀+

π

4

）=

2

sin[（x₀-

π

4

）+

π

4

]
=

2

[sin（x₀-

π

4

）cos

π

4

+cos（x₀-

π

4

）sin

π

4

]
=

2

（

4

5

×

2

2

+

3

5

×

2

2

）
=

7

5

．

点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查两角和的正弦，考查化归思想与综合运算求解能力，属于难题．