已知函数f(x)=-x3+ax2-4(),是f(x)的导函数.
(1)当a=2时,对任意的求的最小值;
(2)若存在使f(x0)>0,求a的取值范围.
(1)-11(2)
解析试题分析:
(1)把a=2带入f(x),对f(x)求导得单调性,得极值与[-1,1]区间端点对应的函数值进行比较得到最小值,对f(x)求导得到导函数,导函数为二次函数可以对称轴图像得到导函数在区间[-1,1]上的最小值,函数f(x)与f(x)的导函数最小值之和即为的最小值.
(2)该问题为固定区间上的恒成立问题,只需要函数f(x)在区间最小值大于0.关于函数f(x)的最值可以通过求导求单调性来得到在该区间上的最值,由于导函数是含参数的二次函数,故讨论需遵循开口,有无根,根的大小等步骤进行分类讨论确定原函数的单调性,得到最小值,进而得到a的取值范围.
试题解析:
(1)由题意知
令 2分
当在[-1,1]上变化时,随的变化情况如下表:
的最小值为 4分x -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 -7 - 0 + 1 -1 ↓ -4 ↑ -3
的对称轴为,且抛物线开口向下,
的最小值为 5分
的最小值为-11. 6分
(2).
①若,上单调递减,
又
9分
②若当
从而上单调递增,在上单调递减,
. 12分
根据题意,
综上,的取值范围是 14分
(或由,用两种方法可解)
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知()
(1)若方程有3个不同的根,求实数的取值范围;
(2)在(1)的条件下,是否存在实数,使得在上恰有两个极值点,且满足,若存在,求实数的值,若不存在,说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数(,为自然对数的底数).
(1)若曲线在点处的切线平行于轴,求的值;
(2)求函数的极值;
(3)当的值时,若直线与曲线没有公共点,求的最大值.
(注:可能会用到的导数公式:;)
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