【题目】已知函数(
).
(Ⅰ)若,恒有
成立,求实数
的取值范围;
(Ⅱ)若函数有两个相异极值点
,
,求证:
.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)见解析.
【解析】试题分析:(1)分离参数,构造函数,利用导数求出函数的最值即可,
(2)函数g(x)=f(x)-x有两个极值点x1、x2,即导函数g′(x)有两个不同的实数根x1、x2,对a进行分类讨论,令,构造函数φ(t),利用函数φ(t)的单调性证明不等式.
试题解析:
(Ⅰ)由,恒有
,即
,
对任意
成立,
记,
,
当,
,
单调递增;
当,
,
单调递减,
最大值为
,
∴,
.
(Ⅱ)函数有两个相异的极值点
,
,
即有两个不同的实数根.
①当时,
单调递增,
不可能有两个不同的实根;
②当时,设
,则
,
当时,
,
单调递增;
当时,
,
单调递减,
∴,∴
,
不妨设,∵
,
∴,
,
,
先证,即证
,
即证,
令,即证
,设
,
则,函数
在
单调递减,
∴,∴
,又
,∴
,
∴.
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【题目】2017高考特别强调了要增加对数学文化的考查,为此某校高三年级特命制了一套与数学文化有关的专题训练卷(文、理科试卷满分均为100分),并对整个高三年级的学生进行了测试.现从这些学生中随机抽取了50名学生的成绩,按照成绩为,
,…,
分成了5组,制成了如图所示的频率分布直方图(假定每名学生的成绩均不低于50分).
(1)求频率分布直方图中的的值,并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数(同一组中的数据用该组区间的中点值代表);
(2)若高三年级共有2000名学生,试估计高三学生中这次测试成绩不低于70分的人数;
(3)若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的三组学生中抽取6人,再从这6人中随机抽取3人参加这次考试的考后分析会,试求后两组中至少有1人被抽到的概率.
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【题目】下列各组函数中,表示同一函数的是( )
A.y=1,y=
B.y= ×
,y=
C.y=2x+1﹣2x , y=2x
D.y=2lgx,y=lgx2
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【题目】已知抛物线的焦点为
为
上位于第一象限的任意一点,过点
的直线
交
于另一点
,交
轴的正半轴于点
.
(1)若当点的横坐标为
,且
为等腰三角形,求
的方程;
(2)对于(1)中求出的抛物线,若点
,记点
关于
轴的对称点为
交
轴于点
,且
,求证:点
的坐标为
,并求点
到直线
的距离
的取值范围.
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【题目】已知命题p:x∈R,使2x>3x;命题q:x(0, ),tanx>sinx下列是真命题的是( )
A.(¬p)∧q
B.(¬p)∨(¬q)
C.p∧(¬q)
D.p∨(¬q)
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【题目】已知函数(
),与
图象的对称轴
相邻的
的零点为
.
(Ⅰ)讨论函数在区间
上的单调性;
(Ⅱ)设的内角
,
,
的对应边分别为
,
,
,且
,
,若向量
与向量
共线,求
,
的值.
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【题目】中国古代儒家要求学生掌握六种基本才艺:礼、乐、射、御、书、数,简称“六艺”,某中学为弘扬“六艺”的传统文化,分别进行了主题为“礼、乐、射、御、书、数”六场传统文化知识的竞赛,现有甲、乙、丙三位选手进入了前三名的最后角逐、规定:每场知识竞赛前三名的得分都分别为(
,且
);选手最后得分为各场得分之和,在六场比赛后,已知甲最后得分为26分,乙和丙最后得分都为11分,且乙在其中一场比赛中获得第一名,则下列推理正确的是( )
A. 每场比赛第一名得分为4 B. 甲可能有一场比赛获得第二名
C. 乙有四场比赛获得第三名 D. 丙可能有一场比赛获得第一名
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【题目】二维空间中圆的一维测度(周长)l=2πr,二维测度(面积)S=πr2;三维空间中球的二维测度(表面积)S=4πr2 , 三维测度(体积)V= πr3;四维空间中“超球”的三维测度V=8πr3 , 则猜想其四维测度W= .
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