Question

11．在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=4，AD=2，AA₁=2，点E在棱AB上移动．
（1）当AE=1时，求证：直线D₁E⊥平面A₁DC₁；
（2）在（1）的条件下，求${V_{{C_1}-{A_1}DE}}：{V_{{C_1}-{A_1}{D_1}D}}$的值．

Answer 1

分析 （1）建立坐标系，利用向量法证明D₁E⊥DA₁，D₁E⊥DC₁，从而D₁E⊥平面A₁DC₁；
（2）使用等体积法求出D₁到平面A₁DC₁的距离．从而得出E到平面A₁DC₁的距离，于是两棱锥的体积比等于高的比．

解答 （1）证明：以D为原点，以DC，DA，DD₁为坐标轴建立空间直角坐标系，
则D（0，0，0），A₁（0，2，2），D₁（0，0，2），C₁（4，0，2），E（1，2，0），
∴$\overrightarrow{{D}_{1}E}$=（1，2，-2），$\overrightarrow{D{A}_{1}}$=（0，2，2），$\overrightarrow{D{C}_{1}}$=（4，0，2），
∴$\overrightarrow{{D}_{1}E}$•$\overrightarrow{D{A}_{1}}$=0+4-4=0，$\overrightarrow{{D}_{1}E}$•$\overrightarrow{D{C}_{1}}$=4+0-4=0，
∴D₁E⊥DA₁，D₁E⊥DC₁，又DA₁∩DC₁=D，DA₁?平面A₁DC₁，DC₁?平面A₁DC₁．
∴D₁E⊥平面A₁DC₁．
（2）解：由题意可知A₁C₁=DC₁=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，A₁D=2$\sqrt{2}$，D₁E=3．
∴C₁到A₁D的距离h=$\sqrt{（2\sqrt{5}）^{2}-（\sqrt{2}）^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
∴S${\;}_{△{A}_{1}{C}_{1}D}$=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×3\sqrt{2}$=6，
设D₁到平面A₁DC₁的距离为d₁，则V${\;}_{{D}_{1}-{A}_{1}D{C}_{1}}$=$\frac{1}{3}{S}_{△{A}_{1}D{C}_{1}}•d$=2d₁，
又V${\;}_{{D}_{1}-{A}_{1}D{C}_{1}}$=V${\;}_{{C}_{1}-AD{D}_{1}}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×4$=$\frac{8}{3}$，∴2d₁=$\frac{8}{3}$，即d₁=$\frac{4}{3}$．
设E到平面A₁DC₁的距离为d₂，则d₂=D₁E-d₁=3-$\frac{4}{3}$=$\frac{5}{3}$，
∴${V_{{C_1}-{A_1}DE}}：{V_{{C_1}-{A_1}{D_1}D}}$=d₂：d₁=5：4．

点评 本题考查了线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．