Question

给出下列结论
①若a，b∈[0，1]，则不等式a²+b²＜

1

4

成立的概率是

π

4

；
②函数f（a）=

∫

1 0

（6ax²-a²x）dx的最大值为2；
③已知随机变量ξ～N（2，δ²），且P（ξ≤4）=0.84，则P（0≤ξ≤2）=0.16；
④定义在R上的奇函数f（x），满足f（x+2）=-f（x），则f（6）的值为0．
其中，不正确的结论是

 

．（写出所有不正确结论的编号）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：阅读型

分析：①这是几何概率问题，可画图考虑，找出两个区域，即正方形和

1

4

个圆及内部，运用面积相除即可；
②运用定积分公式

∫

b a

f(x)dx=F（b）-F（a），再运用配方即可得到最大值；
③由正态分布的特点，关于x=2对称，先求p（2≤ξ≤4），即得P（0≤ξ≤2）；
④由定义在R上的奇函数f（x），即得f（0）=0，再分别令x=4，x=2，x=0即可求出f（6）．

解答： 解：①若a，b∈[0，1]，则不等式a²+b²＜

1

4

成立的概率是
p=

1 4 π•( 1 2 )2

1×1

=

π

16

，如图．故①错；
②函数f（a）=

∫

1 0

（6ax²-a²x）dx=（2ax³-

1

2

a²x²）

|

1 0

=2a-

1

2

a²
=-

1

2

（a-2）²+2，即最大值为2，故②正确；
③随机变量ξ～N（2，δ²），说明对称轴为x=2，则p（ξ≤2）=0.5，
且P（ξ≤4）=0.84，即p（2≤ξ≤4）=0.84-0.5=0.34，
则P（0≤ξ≤2）=0.34，故③错；
④由定义在R上的奇函数f（x）得，f（0）=0，
又f（x+2）=-f（x），则f（6）=-f（4）=f（2）=-f（0）=0，
故④正确．
故答案为：①③．

点评：本题以命题的真假判断为载体，考查几何概率的求法，定积分的计算，和正态分布的性质，以及函数的奇偶性及运用，是一道基础题．