Question

4．已知等差数列{a_n}的公差d≠0，前9项的和S₉=54
（1）求①a₅
②若S₅=20，将数列{a_n}进行如下分组：（a₁）；（a₂，a₃），（a₄，a₅，a₆，a₇），（a₈，a₉，a₁₀，…，a₁₅，），…，求前n组所有数的和T_n；
（2）若存在自然数n₁，n₂，n₃，…，n_t（t是正整数），满足5＜n₁＜n₂＜n₃＜…＜n_t，使得a₃，a₅，a${\;}_{{n}_{1}}$，a${\;}_{{n}_{2}}$，…a${\;}_{{n}_{t}}$，…成等比数列，求所有整数a₃的值．

Answer 1

分析 （1）①由等差数列{a_n}的公差d≠0，前9项的和S₉=54，可得$\frac{9（{a}_{1}+{a}_{9}）}{2}$=9a₅=54，解得a₅．②联立S₅=20，a₅=6．解得a₁，d，即可得出a_n．
由（a₁）；（a₂，a₃），（a₄，a₅，a₆，a₇），（a₈，a₉，a₁₀，…，a₁₅，），…，可知：前n组所有数=1+2+…+n=$\frac{n（n+1）}{2}$．再利用等差数列的前n项和公式即可得出．
（2）由①可得：a₅=6=a₃+2d，可得d=3-$\frac{1}{2}{a}_{3}$，∴${a}_{{n}_{1}}$=a₃+（n₁-3）d=$\frac{5-{n}_{1}}{2}$a₃+（3n₁-9），由a₃，a₅，a${\;}_{{n}_{1}}$，a${\;}_{{n}_{2}}$，…a${\;}_{{n}_{t}}$，…成等比数列，可得6²=a₃•$[\frac{5-{n}_{1}}{2}{a}_{3}+（3{n}_{1}-9）]$，（n₁为大于5的整数），a₃为整数，化为：n₁=5+$\frac{60}{6-{a}_{3}^{2}}$＞5，${a}_{3}^{2}$＜6，又a₃为整数，即可得出．

解答 解：（1）①∵等差数列{a_n}的公差d≠0，前9项的和S₉=54，∴$\frac{9（{a}_{1}+{a}_{9}）}{2}$=9a₅=54，解得a₅=6．
②∵S₅=20，a₅=6．∴$\frac{5（{a}_{1}+6）}{2}$=20，解得a₁=2，∴2+4d=6，解得d=1．
∴a_n=2+（n-1）=n+1．
由（a₁）；（a₂，a₃），（a₄，a₅，a₆，a₇），（a₈，a₉，a₁₀，…，a₁₅，），…，
可知：前n组所有数=1+2+…+n=$\frac{n（n+1）}{2}$．
∴T_n=a₁+a₂+…+${a}_{\frac{n（n+1）}{2}}$=$\frac{\frac{n（n+1）}{2}（2+\frac{n（n+1）}{2}+1）}{2}$=$\frac{（{n}^{2}+n）（{n}^{2}+n+6）}{8}$．
（2）由①可得：a₅=6=a₃+2d，可得d=3-$\frac{1}{2}{a}_{3}$，
${a}_{{n}_{1}}$=a₃+（n₁-3）d=a₃+（n₁-3）×（3-$\frac{1}{2}{a}_{3}$）=$\frac{5-{n}_{1}}{2}$a₃+（3n₁-9），
∵a₃，a₅，a${\;}_{{n}_{1}}$，a${\;}_{{n}_{2}}$，…a${\;}_{{n}_{t}}$，…成等比数列，
∴${a}_{5}^{2}$=${a}_{3}•{a}_{{n}_{1}}$，∴6²=a₃•$[\frac{5-{n}_{1}}{2}{a}_{3}+（3{n}_{1}-9）]$，（n₁为大于5的整数），a₃为整数．
化为：n₁=5+$\frac{60}{6-{a}_{3}^{2}}$＞5，化为：${a}_{3}^{2}$＜6，又a₃为整数．
∴a₃=±1，0，±2．
0舍去．
∴a₃=±1，±2．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．