Question

13．已知函数f（x）=$\sqrt{2}$sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$-$\sqrt{2}$sin${\;}^{2}\frac{x}{2}$．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在区间[-π，0]上的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用二倍角公式和两角和的正弦公式，化简f（x），再由正弦函数的周期，即可得到所求；
（Ⅱ）由x的范围，可得x+$\frac{π}{4}$的范围，再由正弦函数的图象和性质，即可求得最小值．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=$\sqrt{2}$sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$-$\sqrt{2}$sin${\;}^{2}\frac{x}{2}$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinx-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（1-cosx）
=sinxcos$\frac{π}{4}$+cosxsin$\frac{π}{4}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$
=sin（x+$\frac{π}{4}$）-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
则f（x）的最小正周期为2π；
（Ⅱ）由-π≤x≤0，可得
-$\frac{3π}{4}$≤x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{4}$，
即有-1$≤sin（x+\frac{π}{4}）≤\frac{\sqrt{2}}{2}$，
则当x=-$\frac{3π}{4}$时，sin（x+$\frac{π}{4}$）取得最小值-1，
则有f（x）在区间[-π，0]上的最小值为-1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查二倍角公式和两角和的正弦公式，同时考查正弦函数的周期和值域，考查运算能力，属于中档题．