Question

20．已知Rt△ABC，点D为斜边BC的中点，|$\overrightarrow{AB}$|=6$\sqrt{3}$，|$\overrightarrow{AC}$|=6，$\overrightarrow{AE}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{ED}$，则$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{EB}$等于（　　）

• A． -14
• B． -9
• C． 9
• D． 14

Answer 1

分析 运用向量中点表示形式，结合条件可得$\overrightarrow{AE}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）=$\frac{1}{6}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$），再由向量的加减运算可得$\overrightarrow{EB}$=$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AB}$-$\frac{1}{6}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）=$\frac{5}{6}$$\overrightarrow{AB}$-$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{AC}$，再由向量的数量积的性质：向量的平方即为模的平方，以及向量垂直的条件：数量积为0，计算即可得到所求值．

解答 解：Rt△ABC，点D为斜边BC的中点，|$\overrightarrow{AB}$|=6$\sqrt{3}$，|$\overrightarrow{AC}$|=6，
可得$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=0，$\overrightarrow{AB}$²=|$\overrightarrow{AB}$|²=108，$\overrightarrow{AC}$²=|$\overrightarrow{AC}$|²=36，$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$），
$\overrightarrow{AE}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{ED}$，可得$\overrightarrow{AE}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AD}$
=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）=$\frac{1}{6}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$），
$\overrightarrow{EB}$=$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AB}$-$\frac{1}{6}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）=$\frac{5}{6}$$\overrightarrow{AB}$-$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{AC}$，
可得$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{EB}$=$\frac{1}{6}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）•（$\frac{5}{6}$$\overrightarrow{AB}$-$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{AC}$）
=$\frac{1}{36}$（5$\overrightarrow{AB}$²-$\overrightarrow{AC}$²+4$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$）=$\frac{1}{36}$×（5×108-36+0）=14．
故选：D．

点评 本题考查向量数量积的定义和性质，主要是向量的平方即为模的平方，向量垂直的条件：数量积为0，考查向量中点的表示形式，以及化简整理的运算能力，属于中档题．