Question

10．如图，在四棱锥P-ABCD中，△ABD是边长为2的正三角形，PC⊥底面ABCD，AB⊥BP，BC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
（1）求证：PA⊥BD；
（2）若PC=BC，求二面角A-BP-D的正弦值．

Answer 1

分析 （1）连接AC，交BD于O，运用线面垂直的判定和性质，可得AB⊥BC，求得∠BAC=30°，可得AC⊥BD，再由线面垂直的判定和性质，即可得证；
（2）过O作OF∥PC，交AP于F，以O为坐标原点，OA，OB，OF为x，y，z轴，建立直角坐标系O-xyz，分别求得A，B，C，D，P的坐标，可得向量$\overrightarrow{DB}$，$\overrightarrow{PB}$的坐标，设出平面PBD的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），由向量垂直的条件：数量积为0，可得$\overrightarrow{n}$=（2，0，1），再取PB的中点E，连接CE，可得向量CE为平面ABP的法向量，求得坐标，再求两法向量的夹角的余弦值，即可得到所求二面角的正弦值．

解答 解：（1）证明：连接AC，交BD于O，
由PC⊥平面ABCD，可得PC⊥AB，
又AB⊥BP，BP∩PC=P，
可得AB⊥平面PBC，即有AB⊥BC，
由BC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，AB=2，可得tan∠BAC=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
即∠BAC=30°，又∠ABD=60°，
则∠AOB=90°，
即AC⊥BD，又PC⊥BD，
则BD⊥平面PAC，即有PA⊥BD；
（2）由O为BD的中点，过O作OF∥PC，交AP于F，
可得F为AP的中点，且OF⊥平面ABCD，
以O为坐标原点，OA，OB，OF为x，y，z轴，建立直角坐标系O-xyz，
则A（$\sqrt{3}$，0，0），B（0，1，0），D（0，-1，0），C（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0，0），P（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），
则$\overrightarrow{DB}$=（0，2，0），$\overrightarrow{PB}$=（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1，-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），
设平面PBD的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=2y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=\frac{\sqrt{3}}{3}x+y-\frac{2\sqrt{3}}{3}z=0}\end{array}\right.$，取z=1，x=2，
可得为$\overrightarrow{n}$=（2，0，1），
取PB的中点E，连接CE，由PC=BC，可得CE⊥AP，
又AB⊥平面PBC，可得AB⊥CE，即有CE⊥平面ABP，
由E（-$\frac{\sqrt{3}}{6}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），即有$\overrightarrow{CE}$=（$\frac{\sqrt{3}}{6}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）为平面ABP的一个法向量．
即有cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{CE}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CE}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{CE}|}$=$\frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}}{\sqrt{5}•\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
可得sin＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{CE}$＞=$\sqrt{1-\frac{10}{25}}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$．
即有二面角A-BP-D的正弦值为$\frac{\sqrt{15}}{5}$．

点评 本题考查线线垂直的证明，注意运用线面垂直的判定定理和性质定理，考查二面角的正弦值，注意运用空间的法向量的夹角，考查化简整理的运算能力，属于中档题．