Question

4．已知f'（x）是函数f（x）（x∈R且x≠0）的导函数，当x＞0时，xf'（x）-f（x）＜0，记a=$\frac{{f（{{2^{0.2}}}）}}{{{2^{0.2}}}}，b=\frac{{f（{{{0.2}^2}}）}}{{{{0.2}^2}}}，c=\frac{{f（{{{log}_2}5}）}}{{{{log}_2}5}}$，则（　　）

• A． a＜b＜c
• B． b＜a＜c
• C． c＜a＜b
• D． c＜b＜a

Answer 1

分析 构造函数g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，求出函数的导数，根据函数的单调性以及数的大小比较判断即可．

解答 解：令g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，则g′（x）=$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$，
∵x＞0时，xf'（x）-f（x）＜0，
∴g′（x）＜0在（0，+∞）恒成立，
g（x）在（0，+∞）递减，
∵2^0.2＞2⁰=1，0.2²═0.04，log₂5＞log₂4=2，
故g（log₂5）＜g（2^0.2）＜g（0.2²），
即c＜a＜b，
故选：C．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及导数、指数的大小比较，是一道中档题．