Question

15．已知tan（$\frac{π}{4}$+α）=$\frac{1}{3}$．
（1）求$\frac{sin2α-co{s}^{2}α}{1+sin2α}$的值；
（2）若α为直线l的倾斜角，当直线l与曲线C：x=1+$\sqrt{2y-{y}^{2}}$有两个交点时，求直线l的纵截距b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用两角和的正切公式，求出tanα的值，再利用三角恒等变换与弦化切公式，即可计算$\frac{sin2α-co{s}^{2}α}{1+sin2α}$的值；
（2）根据题意设出直线l的方程，化简曲线C的方程，画出直线l与C的图象，结合图象即可求出直线l与C有两个交点时b的取值范围．

解答 解：∵tan（$\frac{π}{4}$+α）=$\frac{tan\frac{π}{4}+tanα}{1-tan\frac{π}{4}•tanα}$=$\frac{1+tanα}{1-tanα}$=$\frac{1}{3}$，
∴tanα=-$\frac{1}{2}$；
（1）$\frac{sin2α-co{s}^{2}α}{1+sin2α}$=$\frac{2sinαcosα{-cos}^{2}α}{{sin}^{2}α{+cos}^{2}α+2sinαcosα}$
=$\frac{2tanα-1}{{tan}^{2}α+1+2tanα}$
=$\frac{2×（-\frac{1}{2}）-1}{{（-\frac{1}{2}）}^{2}+1+2×（-\frac{1}{2}）}$
=-8；
（2）若α为直线l的倾斜角，则k=tanα=-$\frac{1}{2}$，
设直线l的方程为y=-$\frac{1}{2}$x+b，
又曲线C：x=1+$\sqrt{2y-{y}^{2}}$可化为（x-1）²+（y-1）²=1（x≥1），
画出直线l与C的图象，如图所示，
则直线l过点A（1，2），此时b=$\frac{5}{2}$；
当直线l过点B时，l与C相切，此时$\frac{|\frac{1}{2}+1-b|}{\sqrt{{（\frac{1}{2}）}^{2}{+1}^{2}}}$=1，
解得b=$\frac{3}{2}$+$\frac{\sqrt{5}}{2}$或b=$\frac{3}{2}$-$\frac{\sqrt{5}}{2}$（不合题意，舍去）；
所以当直线l与C有两个交点时，$\frac{5}{2}$≤b＜$\frac{3}{2}$+$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查了三角恒等变换与弦化切公式的应用问题，也考查了直线与圆的方程的应用问题，是综合题．